Matrixrechner – kostenlos

Beispiel

Klicken Sie in Matrix A und tippen Sie 2 und 1 in die obere Zeile, dann 1 und 3 in die untere. Klicken Sie auf „det(A)“, und das Ergebnis lautet „det(A) = 5“; „Rechenweg Schritt für Schritt (1)“ zeigt aufgeklappt „ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5“. Klicken Sie auf „A invertieren“, und das Ergebnisgitter zeigt 3/5, -1/5, -1/5 und 2/5, mit fünf Schritten, die bei „[A | I]“ beginnen. Wählen Sie unter „Ergebnisse anzeigen als“ die Option „Dezimalzahlen“, und dasselbe Gitter zeigt 0.6, -0.2, -0.2 und 0.4. Die schattierte Spalte b enthält bereits 1 und 2, daher liefert „Ax = b lösen“ eine Spalte aus 1/5 und 3/5. „Charakteristisches Polynom“ ergibt „p(λ) = λ² − 5λ + 5“, und „Eigenwerte und Eigenvektoren“ ergibt 1.381966 und 3.618034. Jede Änderung einer Zelle löscht die alte Antwort, klicken Sie also erneut auf die Operation.

Welche Einstellungen zu verwenden sind, und die Grenzen

• Tippen Sie jede Zelle so, wie Sie sie schreiben würden. Eine Zelle nimmt ganze Zahlen, Dezimalzahlen (1.5 oder 1,5), Brüche (1/3, -2/5) und einfache Ausdrücke wie sqrt(2), pi, e, abs(-3), 2^3, (1+2)/3 und 2pi an. Auch die Zeichen × ÷ − und ** funktionieren. Ein einzelnes Komma ist ein Dezimalkomma, „1,5“ ist also 1.5; enthält eine Zelle aber sowohl ein Komma als auch einen Punkt, werden die Kommas verworfen, und „1,000.5“ ist 1000.5. Dezimalzahlen werden exakt gelesen, 0.5 wird also als 1/2 gehalten. Eine leere Zelle, eine Division durch null und die Quadratwurzel einer negativen Zahl werden abgelehnt, und die Zelle erhält einen roten Rahmen.
• Legen Sie die Größe fest und nutzen Sie die Spalte b für Gleichungen. Matrix A und Matrix B reichen jeweils von 1 bis 8 Zeilen und 1 bis 8 Spalten, eingestellt mit den Schaltflächen − und + neben „Zeilen“ und „Spalten“. Neue Zellen beginnen bei 0, und Zellen, die Sie behalten, bleiben unverändert. „Zufällig“ füllt mit ganzen Zahlen von -9 bis 9, „Einheitsmatrix“ setzt 1 auf die Diagonale, und „Nullen“ leert das Gitter. Die schattierte Spalte b neben Matrix A ist die rechte Seite für „Ax = b lösen“ und hat immer einen Eintrag pro Zeile von A. Die Pfeiltasten und die Eingabetaste wechseln zwischen Zellen, wobei die Eingabetaste nach unten geht.
• Passen Sie die Operation zur Form der Matrix an. „A + B“ und „A − B“ brauchen zwei Gitter gleicher Größe. „A × B“ braucht für die Spalten von A dieselbe Zahl wie die Zeilen von B, ein 2 × 3 großes A lässt sich also mit einem 3 × 2 großen B multiplizieren. „det(A)“, „A invertieren“, „Spur (A)“, „Charakteristisches Polynom“, „Eigenwerte und Eigenvektoren“, „A^k“ und „Ax = b lösen“ brauchen alle ein quadratisches A. „A transponieren“, „RREF A“, „rank(A)“ und „k · A“ funktionieren bei jeder Größe. Die Schaltflächen stehen unter „Für Matrix A“, „A und B zusammen“, „Lineares Gleichungssystem lösen“ und „Mit einer Zahl k“.
• Wissen Sie, wann die Antwort exakt und wann sie gerundet ist. Sind alle verwendeten Zellen ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche, ist die Antwort exakt: Die 2 × 2-Inverse oben ist 3/5, nicht 0.6. Dann listen det, Inverse, RREF und Lösen ihre Zeilenoperationen unter „Rechenweg Schritt für Schritt“ auf. Eine Zelle mit sqrt(2), pi oder e stellt diese Berechnung auf Dezimalzahlen mit 6 Stellen um, und die Seite meldet „Der Rechenweg benötigt exakte Einträge (ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche). Zellen mit sqrt, pi oder e werden in Dezimalzahlen berechnet.“ Die Schaltflächen „Brüche“ und „Dezimalzahlen“ ändern nur die Anzeige, und ein Bruch mit Zähler oder Nenner ab einer Milliarde wird in beiden als Dezimalzahl angezeigt.
• Nutzen Sie die Eigenwert-Schaltfläche für eine quadratische Matrix. „Eigenwerte und Eigenvektoren“ ist die eine Operation, die eine eigene Mathematik-Engine verwendet. Sie wird beim ersten Klick auf die Schaltfläche geladen, die währenddessen „Wird geladen…“ zeigt, und rechnet in Dezimalzahlen ohne Rechenweg. Komplexe Paare erscheinen als „±i“ oder „1 ± 2i“. Eigenvektoren werden so skaliert, dass der erste Eintrag ungleich null 1 ist, was von einem Lehrbuch abweichen kann, das sie anders skaliert. Für A = [[2, 1], [1, 3]] gehört der Wert 1.381966 zu (1, -0.618034) und 3.618034 zu (1, 1.618034).
• Fügen Sie aus einer Tabelle ein und kopieren Sie Antworten heraus. Fügen Sie einen Zellblock aus Excel oder Google Sheets in eines der Gitter ein, und es passt seine Größe an, bis zu 8 × 8; überzählige Zeilen und Spalten werden abgeschnitten, und in einer kurzen Zeile fehlende Zellen werden 0. Zeilen werden durch Zeilenumbrüche getrennt, Zellen durch Tabulatoren, Semikolons oder Leerzeichen. Beim Einfügen in eine b-Zelle wird die erste Spalte des Eingefügten übernommen. Unter einem Matrixergebnis kopiert „Für Excel kopieren“ durch Tabulatoren getrennte Zellen, „LaTeX kopieren“ kopiert eine bmatrix mit Brüchen als \frac, und „Als A verwenden“ oder „Als B verwenden“ verschiebt die Antwort in ein Gitter, wobei exakte Brüche erhalten bleiben.

Häufige Probleme und wie man sie behebt

Es erscheint „Zelle A12 ist keine Zahl oder kein Ausdruck, den wir lesen können. Versuchen Sie 3, 1/3, 1,5, sqrt(2) oder pi.“ (mit Ihrem eigenen Zellnamen).

Der Name besteht aus Zeile und Spalte, A12 ist also Zeile 1, Spalte 2 von Matrix A. Eine b-Zelle wird nach ihrer Zeile benannt, etwa b2. Ursachen sind eine leere Zelle, andere Buchstaben als pi, e, sqrt und abs, eine Division durch null wie 1/0, die Quadratwurzel einer negativen Zahl, zwei nur durch ein Leerzeichen getrennte Zahlen oder eine offene Klammer. Geprüft werden nur die Gitter, die die Schaltfläche verwendet, eine fehlerhafte Zelle in Matrix B stoppt „det(A)“ also nicht.

Es erscheint „Dimensionsfehler — die Anzahl der Spalten in A muss der Anzahl der Zeilen in B entsprechen.“ oder „Dimensionsfehler — beide Matrizen müssen die gleiche Größe haben.“

Die erste Meldung gehört zu „A × B“, die zweite zu „A + B“ und „A − B“. Vergleichen Sie Zeilen und Spalten der beiden Gitter. Ein 2 × 3 großes A braucht zum Multiplizieren ein B mit 3 Zeilen, und eine Summe braucht Gitter mit denselben Zeilen und Spalten. Ändern Sie die Größe mit den Schaltflächen − und +; Zellen, die Sie behalten, bleiben, wie sie sind, und neue Zellen beginnen bei 0.

Es erscheint „Die Determinante ist 0 — diese Matrix hat keine Inverse.“

Eine quadratische Matrix, deren Zeilen voneinander abhängen, wie [[1, 2], [2, 4]], hat die Determinante 0 und keine Inverse. „det(A)“ ergibt 0, und „rank(A)“ ergibt 1, weniger als die 2 Zeilen. Bei Zellen mit sqrt, pi oder e gilt ein Pivot unter 1e-10 als null, sodass eine fast singuläre Matrix so gemeldet werden kann. A^k mit negativem k verwendet die Inverse und ergibt dieselbe Meldung.

Es erscheint „Die Koeffizientenmatrix ist singular — das System hat keine eindeutige Lösung.“ oder „Keine Lösung — das System ist widersprüchlich.“

„Ax = b lösen“ liest Matrix A und die schattierte Spalte b. Singular bedeutet, dass die Zeilen von A voneinander abhängen, es gibt also entweder keine oder viele Lösungen; das Tool listet keine Lösungsschar auf. Widersprüchlich bedeutet, dass die Gleichungen einander widersprechen. Mit A = [[1, 2], [2, 4]] ergibt b = (1, 2) die erste Meldung und b = (1, 3) die zweite. Bei einem nicht quadratischen A erscheint „Diese Operation erfordert eine quadratische Matrix.“

Es erscheint „Matrixpotenzen benötigen einen ganzzahligen Exponenten k.“ oder „Der Exponent k muss zwischen -20 und 20 liegen.“

„A^k“ und „k · A“ teilen sich das Feld nach „k =“, beschriftet mit „Skalar k (auch der Exponent für A^k)“. Für A^k muss es eine ganze Zahl von -20 bis 20 sein: 2.5 ergibt die erste Meldung und 21 die zweite. „k · A“ nimmt jede Zahl, jeden Bruch und jeden Ausdruck an. Lässt sich das Feld k gar nicht lesen, erscheint „Jede Zelle und k müssen eine Zahl oder ein einfacher Ausdruck wie 1/3, 1,5 oder sqrt(2) sein.“ A^0 ist die Einheitsmatrix.

Wie es im Vergleich abschneidet

Dies ist ein schneller Matrixrechner für Gitter bis 8 × 8, der seinen Rechenweg für die üblichen Themen im Studium zeigt: Determinante, Inverse, RREF und das Lösen eines Gleichungssystems. Exakte Brüche machen ihn praktisch, um Hausaufgaben oder eine Handrechnung zu prüfen, und die Kopierschaltflächen für Excel und LaTeX übertragen Antworten an andere Stellen. Er ist kein Computeralgebrasystem. Zellen enthalten nur Zahlen, es gibt also keine symbolischen Variablen und keine komplexen Einträge. Er hat keine LU-, QR- oder SVD-Zerlegung und keine Ausgleichsrechnung nach kleinsten Quadraten, und „Ax = b lösen“ behandelt ein quadratisches A mit einer Lösung. Eigenwerte stammen aus einem numerischen Verfahren in Dezimalzahlen. Für größere Matrizen, symbolische Arbeit oder skriptgesteuerte Aufgaben verwenden Sie MATLAB, Octave, NumPy oder ein Computeralgebrasystem. Nichts, was Sie eingeben, wird irgendwohin gesendet.