Gleichungslöser – kostenlos

Beispiel

Um x² - 2x - 2 = 0 zu lösen, geben Sie x^2-2x-2=0 in "Gleichung eingeben" ein und klicken auf "Lösen". Die Seite zeigt die exakte Lösung x = 1 ± √3, mit x₁ ≈ -0,7321 und x₂ ≈ 2,7321 darunter, eine Zeile "Diskriminante = 12" mit dem Vermerk "zwei verschiedene reelle Nullstellen" und den Scheitelpunkt (1, -3). In "Schritt für Schritt" wird die Diskriminante 12 als "√12 = 2√3" vereinfacht, daher stammt die √3. Schalten Sie "Antworten anzeigen als" auf "Dezimalzahlen" um und es bleiben nur x₁ = -0,7321 und x₂ = 2,7321 übrig.

Welche Einstellungen zu verwenden sind, und die Grenzen

• Geben Sie die Gleichung so ein, wie Sie sie schreiben würden. Schreiben Sie in "Gleichung eingeben" x^2-5x+6=0, 2x+3=7 oder 3x-2y=5; x+y=4. Potenzen können x^2 oder x² sein, 2x bedeutet 2 mal x, und Brüche (1/2), Dezimalkommas (0,5x=3), √2, sqrt(2), pi und Klammern wie (x+1)(x-2)=0 funktionieren alle. Trennen Sie die Gleichungen eines Systems mit einem Semikolon oder einem Komma. Die Unbekannte kann ein beliebiger einzelner Buchstabe sein, und Großbuchstaben werden wie Kleinbuchstaben behandelt. Ein ganzes Wort wie price wird abgelehnt, schreiben Sie also x*3=45 anstelle von price*3=45.
• Wissen Sie, was es lösen kann und was nicht. Es löst lineare, quadratische und kubische Gleichungen mit einer Unbekannten sowie lineare Systeme mit 2 oder 3 Gleichungen und 2 oder 3 Unbekannten. Sie können maximal 3 Gleichungen eingeben. Potenzen über 3, Ungleichungen wie x>3, Systeme mit x² oder x*y darin und Funktionen wie sin oder log werden mit einer Meldung abgelehnt. Text ohne =-Zeichen, wie x^2-5x+6, wird als gleich 0 behandelt.
• Wechseln Sie zwischen exakten Lösungen und Dezimalzahlen. Wenn eine exakte Form existiert und sich von den Dezimalzahlen unterscheidet, bietet "Antworten anzeigen als" "Exakt" und "Dezimalzahlen" an. "Exakt" liefert Brüche wie x = 13/5 und Wurzeln wie x = 1 ± √3, mit den Dezimalzahlen darunter; "Dezimalzahlen" rundet auf 4 Stellen. Die Eingabe einer Dezimalzahl, wie in 0,5x+1,25=3, schaltet von selbst auf "Dezimalzahlen" um. Exakte Wurzeln erfordern Koeffizienten, die zu ganzen Zahlen nicht größer als 2.000 werden, sobald Brüche beseitigt sind. Andernfalls erhalten Sie nur Dezimalzahlen: x^2-3000x+2=0 ergibt x₁ = 0,0007 und x₂ = 2999,9993.
• Nutzen Sie Diskriminante, Scheitelpunkt und Graph für quadratische Gleichungen. Unter den Wurzeln zeigt eine quadratische Gleichung die „Diskriminante“ mit ihrer Eigenschaft („zwei verschiedene reelle Wurzeln“, „eine doppelte reelle Wurzel“ oder „zwei konjugiert komplexe Wurzeln“) und den „Scheitelpunkt“. Eine negative Diskriminante ergibt komplexe Wurzeln wie x = -1 ± 2i. Der Graph markiert die reellen Wurzeln und den Scheitelpunkt. „Graph als PNG herunterladen“ speichert equation-graph.png mit 1.044 mal 690 Pixeln, „Graph als Bild kopieren“ erscheint nur in Browsern, die das Kopieren von Bildern erlauben, und „Im Funktionsplotter öffnen“ zeichnet dasselbe Polynom dort. Lineare und kubische Gleichungen erhalten ebenfalls einen Graphen, Gleichungssysteme jedoch nicht.
• Kubische Gleichungen und Systeme zeigen den Lösungsweg. Eine kubische Gleichung mit einer ganzzahligen oder einfach gebrochenen Wurzel wird mit dem Test auf rationale Nullstellen gelöst: x^3-6x^2+11x-6=0 ergibt x₁ = 1, x₂ = 2 und x₃ = 3, und die Schritte zeigen die quadratische Gleichung, die nach dem Abspalten der ersten Wurzel übrig bleibt. Ohne eine solche Wurzel liefert die Cardanische Formel Dezimalwerte, wie bei x^3-2=0 mit x₁ = 1,2599 und einem komplexen Paar. Ein System wird durch Zeilenoperationen auf einer erweiterten Matrix gelöst, wobei jeder Schritt gezeigt wird. Widersprüchliche Gleichungen ergeben „Keine Lösung.“ und abhängige Gleichungen ergeben „Unendlich viele Lösungen.“
• Gleichung kopieren, teilen oder später wieder aufrufen. „Kopieren“ legt die Gleichung, die Lösungen und die Schritte als Text in die Zwischenablage. „Ergebnis teilen“ erstellt einen Link, der dieselbe Lösung erneut öffnet; die Gleichung wird im Teil der Adresse nach dem # übertragen, der nicht an einen Server gesendet wird. Die letzten 5 von Ihnen gelösten Gleichungen werden in diesem Browser unter „Letzte Gleichungen“ gespeichert, und „Verlauf löschen“ entfernt sie. Die Symbolleiste unter dem Eingabefeld (x, y, ², ^, √, Klammern, =, / und eine Löschtaste) ist für Telefontastaturen gedacht.

Häufige Probleme und wie man sie behebt

Es erscheint: „Diese Gleichung konnte nicht gelesen werden. Versuchen Sie etwas wie x^2-5x+6=0, 2x+3=7 oder 3x-2y=5; x+y=4.“

Der Text konnte nicht in ein Polynom umgewandelt werden. Häufige Ursachen sind eine nicht geschlossene Klammer, nichts auf einer Seite des =, zwei =-Zeichen, gar keine Unbekannte (5=5) und eine Unbekannte innerhalb einer Funktion, eines Nenners oder eines Exponenten: sin(x)=0, 1/x=2, sqrt(x)=2 und 2^x=8 werden alle abgelehnt. Beseitigen Sie zuerst den Bruch (1/x=2 wird zu 1=2x) und schreiben Sie Quadrate als x^2. Beachten Sie, dass x2 als 2 mal x gelesen wird, nicht als x zum Quadrat.

Es erscheint: „Hier werden nur Gleichungen bis zur dritten Potenz (x³) unterstützt. Für höhere Potenzen zeichnen Sie die Kurve und lesen Sie die Nullstellen ab.“

Die Gleichung hat nach dem Ausmultiplizieren von Klammern eine Potenz über 3, wie z. B. x^4-5x^2+4=0 oder (x+1)^4=0. Verwenden Sie den Link „Im Funktionsplotter öffnen“ unter der Meldung, um zu sehen, wo die Kurve die Nullachse kreuzt. Wenn nur gerade Potenzen vorkommen, substituieren Sie u = x²: u²-5u+4=0 ergibt u = 1 oder 4, also x = ±1 oder ±2.

Es erscheint: „Ein System benötigt so viele Gleichungen wie Unbekannte (2 oder 3), und eine einzelne Gleichung darf nur eine Unbekannte haben.“

Entweder hat eine Gleichung zwei Unbekannte (x+y=5 allein), oder die Anzahl der Gleichungen unterscheidet sich von der Anzahl der Unbekannten, oder Sie haben mehr als 3 Gleichungen eingegeben. Fügen Sie die fehlende Gleichung nach einem Semikolon hinzu, wie in x+y=5; x-y=1, oder entfernen Sie die überzählige Unbekannte. Wenn Sie sehen „Systeme müssen linear sein: nur Terme wie 3x oder -2y, kein x² oder xy.“, enthält das System einen quadrierten oder multiplizierten Term, den dieses Werkzeug nicht löst.

In den Koeffizientenfeldern steht: „„1e3“ in a kann nicht gelesen werden. Verwenden Sie eine Zahl wie 2, -0,5, 0,5, 1/2 oder √2.“

Eines der Felder unter „Oder geben Sie die Koeffizienten ein“ enthält etwas, das keine Zahl ist. Die Meldung benennt das Feld und zeigt ∅, wenn das Feld leer ist. Buchstaben und wissenschaftliche Notation wie 1e3 werden nicht akzeptiert: Schreiben Sie 1000 oder 10^3. Brüche (1/2), Dezimalkommas (0,5), Wurzeln (√2), Potenzen (2^3), Pi und Klammern wie (1+2)/3 sind in Ordnung. Ein Feld mit einem Problem erhält einen rosafarbenen Rand.

Im Tab „Quadratisch“ steht: „Bei einer quadratischen Gleichung darf der Koeffizient a nicht 0 sein.“

Mit a = 0 ist die Gleichung nicht mehr quadratisch. Geben Sie dieselben Zahlen im Tab „Linear“ ein (b und c werden zu a und b) oder tippen Sie die Gleichung unter „Gleichung eingeben“, wo das Werkzeug den Typ anhand der höchsten gefundenen Potenz auswählt.

Wie es im Vergleich abschneidet

Das händische Lösen einer quadratischen Gleichung mit der Formel liefert dieselben Wurzeln, und die Seite folgt denselben Schritten, daher ist sie nützlich, um Hausaufgaben zu überprüfen oder zu sehen, woher eine √ kommt. Ein Funktionsplotter oder ein Computeralgebrasystem geht weiter: Es behandelt höhere Potenzen, trigonometrische und exponentielle Gleichungen, Ungleichungen, nichtlineare Systeme und symbolische Lösungen, was diese Seite alles nicht tut. Ihre exakten Lösungen sind auf quadratische Gleichungen mit ganzzahligen oder einfach gebrochenen Koeffizienten und kubische Gleichungen mit einer einfachen rationalen Wurzel beschränkt; alles andere wird als Dezimalzahl auf 4 Stellen gerundet angezeigt. Wenn eine Gleichung abgelehnt wird, verlinkt die Meldung zum Funktionsplotter (für höhere Potenzen) oder zum Matrixrechner (für Systeme).