Calculatrice Matricielle — outil gratuit

Exemple détaillé

Cliquez dans la Matrice A et saisissez 2 et 1 sur la ligne du haut, puis 1 et 3 sur la ligne du bas. Cliquez sur « det(A) » et le résultat indique « det(A) = 5 » ; en ouvrant « Détail des étapes (1) », vous voyez « ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5 ». Cliquez sur « Inverse A » et la grille de résultat affiche 3/5, -1/5, -1/5 et 2/5, avec cinq étapes qui commencent à « [A | I] ». Sous « Afficher les réponses en », choisissez « Décimaux » et la même grille affiche 0.6, -0.2, -0.2 et 0.4. La colonne grisée b contient déjà 1 et 2 : « Résoudre Ax = b » renvoie donc une colonne de 1/5 et 3/5. « Polynôme caractéristique » donne « p(λ) = λ² − 5λ + 5 », et « Valeurs propres et vecteurs propres » donne 1.381966 et 3.618034. Modifier une cellule efface l’ancienne réponse : cliquez de nouveau sur l’opération.

Quels réglages utiliser, et les limites

• Saisissez chaque cellule comme vous l’écririez. Une cellule accepte les nombres entiers, les décimaux (1.5 ou 1,5), les fractions (1/3, -2/5) et des expressions simples comme sqrt(2), pi, e, abs(-3), 2^3, (1+2)/3 et 2pi. Les signes × ÷ − et ** fonctionnent aussi. Une virgule seule est une virgule décimale : « 1,5 » vaut donc 1.5, mais si une cellule contient à la fois une virgule et un point, les virgules sont supprimées et « 1,000.5 » vaut 1000.5. Les décimaux sont lus exactement : 0.5 est donc conservé comme 1/2. Une cellule vide, une division par zéro et la racine carrée d’un nombre négatif sont rejetées, et la cellule reçoit un contour rouge.
• Réglez la taille, et utilisez la colonne b pour les équations. La Matrice A et la Matrice B vont chacune de 1 à 8 lignes et de 1 à 8 colonnes, réglées avec les boutons − et + à côté de « Lignes » et « Colonnes ». Les nouvelles cellules démarrent à 0 et les cellules conservées ne changent pas. « Aléatoire » remplit avec des nombres entiers de -9 à 9, « Identité » met 1 sur la diagonale et « Zéros » vide la grille. La colonne grisée b à côté de la Matrice A est le second membre de « Résoudre Ax = b » et a toujours une valeur par ligne de A. Les touches fléchées et Entrée se déplacent entre les cellules, et Entrée descend.
• Faites correspondre l’opération à la forme de la matrice. « A + B » et « A − B » exigent deux grilles de même taille. « A × B » exige que le nombre de colonnes de A égale celui des lignes de B : une matrice A de 2 × 3 se multiplie donc par une matrice B de 3 × 2. « det(A) », « Inverse A », « Trace (A) », « Polynôme caractéristique », « Valeurs propres et vecteurs propres », « A^k » et « Résoudre Ax = b » exigent tous une matrice A carrée. « Transposer A », « RREF A », « rang(A) » et « k · A » fonctionnent quelle que soit la taille. Les boutons sont placés sous « Sur la matrice A », « A et B ensemble », « Résoudre un système linéaire » et « Avec un nombre k ».
• Sachez quand la réponse est exacte et quand elle est arrondie. Si chaque cellule utilisée est un entier, un décimal ou une fraction, la réponse est exacte : l’inverse 2 × 2 ci-dessus est 3/5, pas 0.6. Alors det, inverse, RREF et Résoudre listent leurs opérations sur les lignes sous « Détail des étapes ». Une cellule avec sqrt(2), pi ou e fait passer ce calcul aux décimaux affichés avec 6 chiffres, et la page indique « Le détail des étapes exige des entrées exactes (entiers, décimaux ou fractions). Les cellules avec sqrt, pi ou e sont calculées en décimaux. » Les boutons « Fractions » et « Décimaux » ne changent que l’affichage, et une fraction dont le numérateur ou le dénominateur atteint un milliard ou plus est affichée en décimal dans les deux cas.
• Utilisez le bouton des valeurs propres pour une matrice carrée. « Valeurs propres et vecteurs propres » est la seule opération qui utilise un moteur mathématique distinct. Il se charge la première fois que vous cliquez sur le bouton, qui indique « Chargement… » pendant ce temps, et il travaille en décimaux, sans étapes. Les paires complexes sont affichées sous la forme « ±i » ou « 1 ± 2i ». Les vecteurs propres sont normalisés pour que la première entrée non nulle soit 1, ce qui peut différer d’un manuel qui les normalise autrement. Pour A = [[2, 1], [1, 3]], la valeur 1.381966 est associée à (1, -0.618034) et 3.618034 à (1, 1.618034).
• Collez depuis un tableur, et copiez les réponses. Collez un bloc de cellules d’Excel ou de Google Sheets dans l’une ou l’autre grille et elle se redimensionne, jusqu’à 8 × 8 ; les lignes et colonnes en trop sont coupées, et les cellules manquantes d’une ligne courte deviennent 0. Les lignes sont séparées par des sauts de ligne, et les cellules par des tabulations, des points-virgules ou des espaces. Coller dans une cellule b prend la première colonne de ce que vous collez. Sous un résultat matriciel, « Copier pour Excel » copie des cellules séparées par des tabulations, « Copier en LaTeX » copie une bmatrix avec les fractions en \frac, et « Utiliser comme A » ou « Utiliser comme B » place la réponse dans une grille en conservant les fractions exactes.

Problèmes courants et comment les résoudre

Il indique « La cellule A12 n’est pas un nombre ni une expression lisible. Essayez 3, 1/3, 1,5, sqrt(2) ou pi. » (avec le nom de votre propre cellule).

Le nom est la ligne puis la colonne : A12 est donc la ligne 1, colonne 2 de la Matrice A. Une cellule b porte le nom de sa ligne, comme b2. Les causes comprennent une cellule vide, des lettres autres que pi, e, sqrt et abs, une division par zéro comme 1/0, la racine carrée d’un nombre négatif, deux nombres séparés seulement par une espace, ou une parenthèse restée ouverte. Seules les grilles utilisées par le bouton sont vérifiées : une mauvaise cellule dans la Matrice B n’empêche donc pas « det(A) ».

Il indique « Dimension incompatible — le nombre de colonnes de A doit égaler le nombre de lignes de B. » ou « Dimension incompatible — les deux matrices doivent avoir la même taille. »

Le premier message concerne « A × B », le second « A + B » et « A − B ». Comparez les Lignes et les Colonnes des deux grilles. Une Matrice A de 2 × 3 exige une Matrice B de 3 lignes pour la multiplication, et une somme exige que les deux grilles aient les mêmes lignes et colonnes. Redimensionnez avec les boutons − et + ; les cellules conservées restent telles quelles et les nouvelles démarrent à 0.

Il indique « Le déterminant est 0 — cette matrice n’a pas d’inverse. »

Une matrice carrée dont les lignes dépendent les unes des autres, comme [[1, 2], [2, 4]], a un déterminant 0 et pas d’inverse. « det(A) » donne 0 et « rang(A) » donne 1, ce qui est inférieur aux 2 lignes. Pour les cellules avec sqrt, pi ou e, un pivot inférieur à 1e-10 compte pour zéro : une matrice presque singulière peut donc être signalée ainsi. A^k avec un k négatif utilise l’inverse et donne le même message.

Il indique « La matrice de coefficients est singulière — le système n’a pas de solution unique. » ou « Pas de solution — le système est incohérent. »

« Résoudre Ax = b » lit la Matrice A et la colonne grisée b. Singulière signifie que les lignes de A dépendent les unes des autres : il y a alors soit aucune solution, soit une infinité ; l’outil ne liste pas une famille de solutions. Incohérent signifie que les équations se contredisent. Avec A = [[1, 2], [2, 4]], b = (1, 2) donne le premier message et b = (1, 3) le second. Une matrice A non carrée affiche « Cette opération nécessite une matrice carrée. »

Il indique « Les puissances de matrice nécessitent un exposant entier k. » ou « L’exposant k doit être entre -20 et 20. »

« A^k » et « k · A » partagent le champ après « k = », intitulé « Scalaire k (aussi l’exposant pour A^k) ». Pour A^k, il doit être un nombre entier de -20 à 20 : 2.5 donne le premier message et 21 le second. « k · A » accepte n’importe quel nombre, fraction ou expression. Si le champ k est complètement illisible, vous voyez « Chaque cellule, ainsi que k, doit être un nombre ou une expression simple comme 1/3, 1,5 ou sqrt(2). » A^0 est la matrice identité.

Comment il se compare

C’est une calculatrice matricielle rapide pour des grilles jusqu’à 8 × 8, qui montre son raisonnement pour les sujets de cours habituels : déterminant, inverse, RREF et résolution d’un système. Les fractions exactes la rendent pratique pour vérifier un devoir ou un calcul à la main, et les boutons de copie Excel et LaTeX exportent les réponses ailleurs. Ce n’est pas un système de calcul formel. Les cellules ne contiennent que des nombres : pas de variables symboliques ni d’entrées complexes. Il n’y a ni décomposition LU, QR ou SVD, ni ajustement par moindres carrés, et « Résoudre Ax = b » gère une matrice A carrée avec une seule réponse. Les valeurs propres viennent d’une méthode numérique, en décimaux. Pour de plus grandes matrices, du calcul symbolique ou des tâches scriptées, utilisez MATLAB, Octave, NumPy ou un système de calcul formel. Rien de ce que vous saisissez n’est envoyé nulle part.