Calcolatore di Matrici gratis

Esempio pratico

Fai clic nella Matrice A e scrivi 2 e 1 nella riga in alto, poi 1 e 3 in quella in basso. Premi «det(A)» e il risultato riporta «det(A) = 5»; aprendo «Procedimento passo passo (1)» compare «ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5». Premi «Inversa A» e la griglia del risultato mostra 3/5, -1/5, -1/5 e 2/5, con cinque passaggi che iniziano da «[A | I]». Sotto «Mostra i risultati come», scegli «Decimali» e la stessa griglia riporta 0.6, -0.2, -0.2 e 0.4. La colonna ombreggiata b contiene già 1 e 2, quindi «Risolvi Ax = b» restituisce una colonna di 1/5 e 3/5. «Polinomio caratteristico» dà «p(λ) = λ² − 5λ + 5», e «Autovalori e autovettori» dà 1.381966 e 3.618034. Modificare una cella qualsiasi cancella la vecchia risposta, quindi premi di nuovo l'operazione.

Quali impostazioni usare, e i limiti

• Scrivi ogni cella come la scriveresti a mano. Una cella accetta numeri interi, decimali (1.5 o 1,5), frazioni (1/3, -2/5) e semplici espressioni come sqrt(2), pi, e, abs(-3), 2^3, (1+2)/3 e 2pi. Funzionano anche i segni × ÷ − e **. Una virgola da sola è una virgola decimale, quindi «1,5» è 1.5, ma se una cella ha sia una virgola sia un punto, le virgole vengono eliminate e «1,000.5» è 1000.5. I decimali vengono letti esattamente, quindi 0.5 è tenuto come 1/2. Una cella vuota, una divisione per zero e la radice quadrata di un numero negativo vengono rifiutate, e la cella riceve un contorno rosso.
• Imposta la dimensione e usa la colonna b per le equazioni. La Matrice A e la Matrice B vanno ciascuna da 1 a 8 righe e da 1 a 8 colonne, impostate con i pulsanti − e + accanto a «Righe» e «Colonne». Le nuove celle partono da 0 e le celle che mantieni restano invariate. «Casuale» riempie con numeri interi da -9 a 9, «Identità» mette 1 sulla diagonale e «Zeri» svuota la griglia. La colonna ombreggiata b accanto alla Matrice A è il termine noto per «Risolvi Ax = b» e ha sempre una voce per ogni riga di A. I tasti freccia e Invio ti spostano tra le celle, e Invio scende.
• Abbina l'operazione alla forma della matrice. «A + B» e «A − B» richiedono due griglie della stessa dimensione. «A × B» richiede che le colonne di A siano uguali alle righe di B, quindi una A 2 × 3 si moltiplica per una B 3 × 2. «det(A)», «Inversa A», «Traccia (A)», «Polinomio caratteristico», «Autovalori e autovettori», «A^k» e «Risolvi Ax = b» richiedono tutti una A quadrata. «Trasponi A», «RREF A», «rank(A)» e «k · A» funzionano con qualsiasi dimensione. I pulsanti sono sotto «Sulla matrice A», «A e B insieme», «Risolvi un sistema lineare» e «Con un numero k».
• Sappi quando la risposta è esatta e quando è arrotondata. Se ogni cella usata è un numero intero, decimale o frazione, la risposta è esatta: l'inversa 2 × 2 qui sopra è 3/5, non 0.6. In quel caso det, inversa, RREF e Risolvi elencano le loro operazioni sulle righe sotto «Procedimento passo passo». Una cella con sqrt(2), pi o e fa passare quel calcolo ai decimali mostrati con 6 cifre, e la pagina dice «Il procedimento passo passo richiede valori esatti (interi, decimali o frazioni). Le celle con sqrt, pi o e vengono calcolate in decimali.» I pulsanti «Frazioni» e «Decimali» cambiano solo la visualizzazione, e una frazione con numeratore o denominatore di un miliardo o più viene mostrata come decimale in entrambi.
• Usa il pulsante degli autovalori per una matrice quadrata. «Autovalori e autovettori» è l'unica operazione che usa un motore matematico separato. Si carica la prima volta che premi il pulsante, che nel frattempo riporta «Caricamento…», e lavora in decimali senza passaggi. Le coppie complesse sono mostrate come «±i» o «1 ± 2i». Gli autovettori sono scalati in modo che la prima componente non nulla sia 1, il che può differire da un libro di testo che li scala in un altro modo. Per A = [[2, 1], [1, 3]] il valore 1.381966 si abbina a (1, -0.618034) e 3.618034 a (1, 1.618034).
• Incolla da un foglio di calcolo e copia le risposte altrove. Incolla un blocco di celle da Excel o Google Sheets in una delle due griglie ed essa si ridimensiona, fino a 8 × 8; righe e colonne in più vengono tagliate e le celle mancanti in una riga corta diventano 0. Le righe sono separate da a capo, e le celle da tabulazioni, punti e virgola o spazi. Incollando in una cella b si prende la prima colonna di ciò che incolli. Sotto il risultato di una matrice, «Copia per Excel» copia celle separate da tabulazioni, «Copia LaTeX» copia una bmatrix con le frazioni come \frac, e «Usa come A» o «Usa come B» sposta la risposta in una griglia mantenendo le frazioni esatte.

Problemi comuni e come risolverli

Dice «La cella A12 non è un numero o un'espressione leggibile. Prova 3, 1/3, 1,5, sqrt(2) o pi.» (con il nome della tua cella).

Il nome è la riga e poi la colonna, quindi A12 è riga 1, colonna 2 della Matrice A. Una cella b è indicata dalla sua riga, come b2. Tra le cause ci sono una cella vuota, lettere diverse da pi, e, sqrt e abs, una divisione per zero come 1/0, la radice quadrata di un numero negativo, due numeri separati solo da uno spazio o una parentesi lasciata aperta. Vengono controllate solo le griglie che il pulsante usa, quindi una cella errata nella Matrice B non blocca «det(A)».

Dice «Mancata corrispondenza dimensionale — il numero di colonne in A deve essere uguale al numero di righe in B.» oppure «Mancata corrispondenza dimensionale — entrambe le matrici devono essere della stessa dimensione.»

Il primo messaggio appartiene a «A × B», il secondo a «A + B» e «A − B». Confronta Righe e Colonne delle due griglie. Una Matrice A 2 × 3 richiede una Matrice B con 3 righe per moltiplicare, e una somma richiede che le due griglie abbiano le stesse righe e colonne. Ridimensiona con i pulsanti − e +; le celle che mantieni restano come sono e le nuove celle partono da 0.

Dice «Il determinante è 0 — questa matrice non ha inverso.»

Una matrice quadrata le cui righe dipendono l'una dall'altra, come [[1, 2], [2, 4]], ha determinante 0 e nessuna inversa. «det(A)» dà 0 e «rank(A)» dà 1, che è meno delle 2 righe. Per le celle con sqrt, pi o e, un pivot più piccolo di 1e-10 conta come zero, quindi una matrice quasi singolare può essere segnalata così. A^k con un k negativo usa l'inversa e dà lo stesso messaggio.

Dice «La matrice dei coefficienti è singolare — il sistema non ha una soluzione unica.» oppure «Nessuna soluzione — il sistema è incoerente.»

«Risolvi Ax = b» legge la Matrice A e la colonna ombreggiata b. Singolare significa che le righe di A dipendono l'una dall'altra, quindi non ci sono soluzioni oppure ce ne sono molte; lo strumento non elenca una famiglia di soluzioni. Incoerente significa che le equazioni si contraddicono. Con A = [[1, 2], [2, 4]], b = (1, 2) dà il primo messaggio e b = (1, 3) il secondo. Una A non quadrata mostra «Questa operazione richiede una matrice quadrata.»

Dice «Le potenze di matrice necessitano di un esponente intero k.» oppure «L'esponente k deve essere tra -20 e 20.»

«A^k» e «k · A» condividono la casella dopo «k =», con l'etichetta «Scalare k (anche l'esponente per A^k)». Per A^k deve essere un numero intero da -20 a 20: 2.5 dà il primo messaggio e 21 il secondo. «k · A» accetta qualsiasi numero, frazione o espressione. Se la casella k non si riesce a leggere affatto, compare «Ogni cella, e k, deve essere un numero o una semplice espressione come 1/3, 1,5 o sqrt(2).» A^0 è la matrice identità.

Come si confronta

Questo è un calcolatore di matrici rapido per griglie fino a 8 × 8, e mostra il procedimento per gli argomenti abituali dei corsi: determinante, inversa, RREF e risoluzione di un sistema. Le frazioni esatte lo rendono comodo per controllare i compiti o un calcolo a mano, e i pulsanti di copia per Excel e LaTeX portano le risposte altrove. Non è un sistema di algebra computazionale. Le celle contengono solo numeri, quindi non ci sono variabili simboliche né valori complessi. Non ha decomposizioni LU, QR o SVD né adattamento ai minimi quadrati, e «Risolvi Ax = b» gestisce una A quadrata con una sola risposta. Gli autovalori derivano da un metodo numerico in decimali. Per matrici più grandi, calcoli simbolici o lavori da script, usa MATLAB, Octave, NumPy o un sistema di algebra computazionale. Nulla di ciò che scrivi viene inviato da nessuna parte.