Calculadora de Matrizes grátis

Exemplo prático

Clique na Matriz A e digite 2 e 1 na linha de cima, depois 1 e 3 na linha de baixo. Clique em “det(A)” e o resultado diz “det(A) = 5”; abrir “Resolução passo a passo (1)” mostra “ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5”. Clique em “Inversa de A” e a grade de resultado mostra 3/5, -1/5, -1/5 e 2/5, com cinco passos que começam em “[A | I]”. Em “Mostrar respostas como”, escolha “Decimais” e a mesma grade mostra 0,6, -0,2, -0,2 e 0,4. A coluna sombreada b já contém 1 e 2, então “Resolver Ax = b” devolve uma coluna com 1/5 e 3/5. “Polinômio característico” dá “p(λ) = λ² − 5λ + 5”, e “Autovalores e autovetores” dá 1,381966 e 3,618034. Editar qualquer célula limpa a resposta antiga, então clique na operação de novo.

Quais configurações usar e os limites

• Digite cada célula como você a escreveria. Uma célula aceita números inteiros, decimais (1.5 ou 1,5), frações (1/3, -2/5) e expressões simples como sqrt(2), pi, e, abs(-3), 2^3, (1+2)/3 e 2pi. Os sinais × ÷ − e ** também funcionam. Uma vírgula sozinha é uma vírgula decimal, então “1,5” é 1,5, mas se uma célula tem vírgula e ponto, as vírgulas são descartadas e “1,000.5” é 1000,5. Os decimais são lidos exatamente, então 0,5 é guardado como 1/2. Uma célula vazia, uma divisão por zero e a raiz quadrada de um número negativo são rejeitadas, e a célula fica com um contorno vermelho.
• Defina o tamanho e use a coluna b para equações. A Matriz A e a Matriz B vão cada uma de 1 a 8 linhas e de 1 a 8 colunas, definidas com os botões − e + ao lado de “Linhas” e “Colunas”. As novas células começam em 0 e as que você mantém não mudam. “Aleatória” preenche com números inteiros de -9 a 9, “Identidade” coloca 1 na diagonal e “Zeros” limpa a grade. A coluna sombreada b ao lado da Matriz A é o lado direito de “Resolver Ax = b” e sempre tem uma entrada por linha de A. As setas e a tecla Enter movem entre as células, e Enter desce.
• Combine a operação com o formato da matriz. “A + B” e “A − B” exigem duas grades do mesmo tamanho. “A × B” exige que as colunas de A sejam iguais às linhas de B, então uma A 2 × 3 multiplica uma B 3 × 2. “det(A)”, “Inversa de A”, “Traço (A)”, “Polinômio característico”, “Autovalores e autovetores”, “A^k” e “Resolver Ax = b” exigem todos uma A quadrada. “Transposta de A”, “RREF A”, “posto(A)” e “k · A” funcionam em qualquer tamanho. Os botões ficam sob “Sobre a matriz A”, “A e B juntas”, “Resolver um sistema linear” e “Com um número k”.
• Saiba quando a resposta é exata e quando é arredondada. Se todas as células usadas são números inteiros, decimais ou frações, a resposta é exata: a inversa 2 × 2 acima é 3/5, não 0,6. Nesse caso, det, inversa, RREF e Resolver listam as operações de linha em “Resolução passo a passo”. Uma célula com sqrt(2), pi ou e muda esse cálculo para decimais mostrados com 6 casas, e a página diz “A resolução passo a passo exige entradas exatas (inteiros, decimais ou frações). Células com sqrt, pi ou e são calculadas em decimais.” Os botões “Frações” e “Decimais” só mudam a exibição, e uma fração com numerador ou denominador de um bilhão ou mais é mostrada como decimal nos dois casos.
• Use o botão de autovalores para uma matriz quadrada. “Autovalores e autovetores” é a única operação que usa um mecanismo matemático separado. Ele é carregado na primeira vez que você clica no botão, que mostra “Carregando…” nesse meio-tempo, e trabalha em decimais, sem passos. Pares complexos são mostrados como “±i” ou “1 ± 2i”. Os autovetores são escalados para que a primeira entrada não nula seja 1, o que pode diferir de um livro-texto que os escala de outro modo. Para A = [[2, 1], [1, 3]], o valor 1,381966 forma par com (1, -0,618034) e 3,618034 com (1, 1,618034).
• Cole de uma planilha e copie as respostas para fora. Cole um bloco de células do Excel ou do Google Sheets em qualquer uma das grades e ela é redimensionada para caber, até 8 × 8; linhas e colunas extras são cortadas, e as células que faltam em uma linha curta viram 0. As linhas são separadas por quebras de linha, e as células por tabulações, ponto e vírgula ou espaços. Colar em uma célula b usa a primeira coluna do que você cola. Sob um resultado de matriz, “Copiar para o Excel” copia células separadas por tabulação, “Copiar LaTeX” copia uma bmatrix com frações como \frac, e “Usar como A” ou “Usar como B” move a resposta para uma grade, mantendo as frações exatas.

Problemas comuns e como resolvê-los

Aparece “A célula A12 não é um número nem uma expressão que possamos ler. Tente 3, 1/3, 1,5, sqrt(2) ou pi.” (com o nome da sua própria célula).

O nome é a linha e depois a coluna, então A12 é a linha 1, coluna 2 da Matriz A. Uma célula b recebe o nome da sua linha, como b2. As causas incluem uma célula vazia, letras que não sejam pi, e, sqrt e abs, uma divisão por zero como 1/0, a raiz quadrada de um número negativo, dois números separados apenas por um espaço ou um parêntese deixado aberto. Só as grades que o botão usa são verificadas, então uma célula ruim na Matriz B não impede “det(A)”.

Aparece “Incompatibilidade de dimensão — o número de colunas em A deve ser igual ao número de linhas em B.” ou “Incompatibilidade de dimensão — ambas as matrizes devem ter o mesmo tamanho.”

A primeira mensagem é de “A × B”, a segunda de “A + B” e “A − B”. Compare as Linhas e Colunas das duas grades. Uma Matriz A 2 × 3 precisa de uma Matriz B com 3 linhas para multiplicar, e uma soma exige que as duas grades tenham as mesmas linhas e colunas. Redimensione com os botões − e +; as células que você mantém permanecem como estão e as novas começam em 0.

Aparece “O determinante é 0 — esta matriz não tem inversa.”

Uma matriz quadrada cujas linhas dependem umas das outras, como [[1, 2], [2, 4]], tem determinante 0 e não tem inversa. “det(A)” dá 0 e “posto(A)” dá 1, que é menos que as 2 linhas. Para células com sqrt, pi ou e, um pivô menor que 1e-10 conta como zero, então uma matriz quase singular pode ser indicada assim. A^k com k negativo usa a inversa e dá a mesma mensagem.

Aparece “A matriz de coeficientes é singular — o sistema não tem solução única.” ou “Sem solução — o sistema é inconsistente.”

“Resolver Ax = b” lê a Matriz A e a coluna sombreada b. Singular significa que as linhas de A dependem umas das outras, então há nenhuma solução ou muitas; a ferramenta não lista uma família de soluções. Inconsistente significa que as equações se contradizem. Com A = [[1, 2], [2, 4]], b = (1, 2) dá a primeira mensagem e b = (1, 3) a segunda. Uma A não quadrada mostra “Esta operação requer uma matriz quadrada.”

Aparece “As potências de matriz precisam de um expoente inteiro k.” ou “O expoente k deve estar entre -20 e 20.”

“A^k” e “k · A” compartilham a caixa depois de “k =”, com o rótulo “Escalar k (também o expoente para A^k)”. Para A^k, ele deve ser um número inteiro de -20 a 20: 2,5 recebe a primeira mensagem e 21 a segunda. “k · A” aceita qualquer número, fração ou expressão. Se a caixa k não puder ser lida de jeito nenhum, aparece “Cada célula, e k, deve ser um número ou uma expressão simples como 1/3, 1,5 ou sqrt(2).” A^0 é a matriz identidade.

Como se compara

Esta é uma calculadora de matrizes rápida para grades de até 8 × 8, e mostra a resolução dos temas usuais de um curso: determinante, inversa, RREF e resolução de um sistema. As frações exatas a tornam útil para conferir a lição de casa ou um cálculo feito à mão, e os botões de copiar para Excel e LaTeX levam as respostas para outros lugares. Não é um sistema de álgebra computacional. As células guardam apenas números, então não há variáveis simbólicas nem entradas complexas. Não tem decomposição LU, QR ou SVD nem ajuste por mínimos quadrados, e “Resolver Ax = b” lida com uma A quadrada com uma única resposta. Os autovalores vêm de um método numérico, em decimais. Para matrizes maiores, trabalho simbólico ou tarefas em script, use MATLAB, Octave, NumPy ou um sistema de álgebra computacional. Nada do que você digita é enviado para lugar algum.