ماشین حساب ماتریس رایگان

مثال عملی

روی ماتریس A کلیک کنید و در سطر بالا 2 و 1 و در سطر پایین 1 و 3 را تایپ کنید. «det(A)» را بزنید و نتیجه «det(A) = 5» را نشان می‌دهد؛ با باز کردن «مراحل حل (1)»، «ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5» دیده می‌شود. «معکوس A» را بزنید و جدول نتیجه 3/5، -1/5، -1/5 و 2/5 را نشان می‌دهد، با پنج مرحله که از «[A | I]» شروع می‌شوند. زیر «نمایش پاسخ‌ها به‌صورت»، «اعشار» را انتخاب کنید و همان جدول 0.6، -0.2، -0.2 و 0.4 را می‌خواند. ستون سایه‌دار b از قبل 1 و 2 را دارد، پس «حل Ax = b» ستونی از 1/5 و 3/5 برمی‌گرداند. «چندجمله‌ای مشخصه» «p(λ) = λ² − 5λ + 5» را می‌دهد و «مقادیر ویژه و بردارهای ویژه» 1.381966 و 3.618034 را. ویرایش هر خانه پاسخ قبلی را پاک می‌کند، پس عملیات را دوباره بزنید.

کدام تنظیمات را استفاده کنید و محدودیت‌ها

• هر خانه را همان‌طور که می‌نویسید تایپ کنید. هر خانه اعداد صحیح، اعشاری (1.5 یا 1,5)، کسرها (1/3، -2/5) و عبارت‌های ساده مانند sqrt(2)، pi، e، abs(-3)، 2^3، (1+2)/3 و 2pi را می‌پذیرد. علامت‌های × ÷ − و ** هم کار می‌کنند. ویرگول تنها ممیز اعشار است، پس «1,5» برابر 1.5 است، اما اگر خانه هم ویرگول و هم نقطه داشته باشد، ویرگول‌ها حذف می‌شوند و «1,000.5» برابر 1000.5 است. اعشارها دقیق خوانده می‌شوند، پس 0.5 به صورت 1/2 نگه داشته می‌شود. خانه خالی، تقسیم بر صفر و جذر عدد منفی رد می‌شوند و خانه کادر قرمز می‌گیرد.
• اندازه را تنظیم کنید و برای معادله‌ها از ستون b استفاده کنید. ماتریس A و ماتریس B هر کدام از 1 تا 8 سطر و از 1 تا 8 ستون دارند که با دکمه‌های − و + کنار «سطرها» و «ستون‌ها» تنظیم می‌شوند. خانه‌های جدید از 0 شروع می‌شوند و خانه‌هایی که نگه می‌دارید بدون تغییر می‌مانند. «تصادفی» با اعداد صحیح از -9 تا 9 پر می‌کند، «همانی» روی قطر 1 می‌گذارد و «صفرها» جدول را پاک می‌کند. ستون سایه‌دار b کنار ماتریس A سمت راست معادله برای «حل Ax = b» است و همیشه به ازای هر سطر A یک درایه دارد. کلیدهای جهت‌نما و Enter بین خانه‌ها حرکت می‌کنند و Enter به پایین می‌رود.
• عملیات را با شکل ماتریس هماهنگ کنید. «A + B» و «A − B» به دو جدول هم‌اندازه نیاز دارند. «A × B» نیاز دارد ستون‌های A با سطرهای B برابر باشند، پس A با اندازه 2 × 3 در B با اندازه 3 × 2 ضرب می‌شود. «det(A)»، «معکوس A»، «رد (A)»، «چندجمله‌ای مشخصه»، «مقادیر ویژه و بردارهای ویژه»، «A^k» و «حل Ax = b» همگی به A مربعی نیاز دارند. «ترانهاده A»، «RREF A»، «rank(A)» و «k · A» با هر اندازه‌ای کار می‌کنند. دکمه‌ها زیر «روی ماتریس A»، «A و B با هم»، «حل دستگاه معادلات خطی» و «با عدد k» قرار دارند.
• بدانید پاسخ چه زمانی دقیق است و چه زمانی گرد شده. اگر همه خانه‌های استفاده‌شده عدد صحیح، اعشاری یا کسر باشند، پاسخ دقیق است: معکوس 2 × 2 بالا 3/5 است، نه 0.6. در این صورت det، معکوس، RREF و حل، عملیات سطری خود را زیر «مراحل حل» فهرست می‌کنند. خانه‌ای با sqrt(2)، pi یا e آن محاسبه را به اعشار با 6 رقم تغییر می‌دهد و صفحه می‌گوید «مراحل حل به درایه‌های دقیق (عدد صحیح، اعشاری یا کسر) نیاز دارد. خانه‌های دارای sqrt، pi یا e به‌صورت اعشاری محاسبه می‌شوند.» دکمه‌های «کسر» و «اعشار» فقط نمایش را تغییر می‌دهند و کسری که صورت یا مخرجش یک میلیارد یا بیشتر باشد در هر دو حالت به صورت اعشار نشان داده می‌شود.
• برای ماتریس مربعی از دکمه مقادیر ویژه استفاده کنید. «مقادیر ویژه و بردارهای ویژه» تنها عملیاتی است که از یک موتور ریاضی جداگانه استفاده می‌کند. اولین بار که دکمه را می‌زنید بارگذاری می‌شود و در این مدت «در حال بارگذاری…» را نشان می‌دهد، و با اعشار و بدون مراحل کار می‌کند. جفت‌های مختلط به صورت «±i» یا «1 ± 2i» نشان داده می‌شوند. بردارهای ویژه طوری مقیاس می‌شوند که اولین درایه غیرصفر 1 باشد، که ممکن است با کتاب درسی که آن‌ها را به شکل دیگری مقیاس می‌کند فرق داشته باشد. برای A = [[2, 1], [1, 3]] مقدار 1.381966 با (1, -0.618034) و 3.618034 با (1, 1.618034) جفت می‌شود.
• از صفحه‌گسترده جای‌گذاری کنید و پاسخ‌ها را کپی کنید. بلوکی از خانه‌های Excel یا Google Sheets را در هر یک از جدول‌ها جای‌گذاری کنید تا اندازه آن تنظیم شود، تا 8 × 8؛ سطرها و ستون‌های اضافه بریده می‌شوند و خانه‌های ناموجود در یک سطر کوتاه 0 می‌شوند. سطرها با خط جدید و خانه‌ها با تب، نقطه‌ویرگول یا فاصله جدا می‌شوند. جای‌گذاری در یک خانه b اولین ستونِ آنچه را جای‌گذاری می‌کنید برمی‌دارد. زیر نتیجه ماتریس، «کپی برای Excel» خانه‌های جداشده با تب را کپی می‌کند، «کپی LaTeX» یک bmatrix با کسرهایی به شکل \frac کپی می‌کند، و «استفاده به‌عنوان A» یا «استفاده به‌عنوان B» پاسخ را با حفظ کسرهای دقیق به یک جدول منتقل می‌کند.

مشکلات رایج و راه حل آن‌ها

می‌گوید «خانه A12 عدد یا عبارتی نیست که بتوانیم بخوانیم. 3، 1/3، 1,5، sqrt(2) یا pi را امتحان کنید.» (با نام خانه خودتان).

نام، سطر و سپس ستون است، پس A12 سطر 1، ستون 2 ماتریس A است. خانه b با سطرش نام‌گذاری می‌شود، مانند b2. علت‌ها شامل خانه خالی، حروفی غیر از pi، e، sqrt و abs، تقسیم بر صفر مانند 1/0، جذر عدد منفی، دو عدد که فقط با فاصله جدا شده‌اند یا پرانتز باز مانده است. فقط جدول‌هایی که دکمه استفاده می‌کند بررسی می‌شوند، پس خانه نادرست در ماتریس B مانع «det(A)» نمی‌شود.

می‌گوید «عدم‌تطابق ابعاد — تعداد ستون‌های A باید برابر تعداد سطرهای B باشد.» یا «عدم‌تطابق ابعاد — هر دو ماتریس باید اندازه یکسانی داشته باشند.»

پیام اول متعلق به «A × B» است و دومی به «A + B» و «A − B». سطرها و ستون‌های دو جدول را مقایسه کنید. ماتریس A با اندازه 2 × 3 برای ضرب به ماتریس B با 3 سطر نیاز دارد و جمع نیاز دارد هر دو جدول سطر و ستون یکسان داشته باشند. با دکمه‌های − و + اندازه را تغییر دهید؛ خانه‌هایی که نگه می‌دارید همان می‌مانند و خانه‌های جدید از 0 شروع می‌شوند.

می‌گوید «دترمینان 0 است — این ماتریس معکوس ندارد.»

ماتریس مربعی که سطرهایش به هم وابسته‌اند، مانند [[1, 2], [2, 4]]، دترمینان 0 دارد و معکوس ندارد. «det(A)» مقدار 0 و «rank(A)» مقدار 1 را می‌دهد که کمتر از 2 سطر است. برای خانه‌های دارای sqrt، pi یا e، محور کوچک‌تر از 1e-10 صفر به حساب می‌آید، پس ماتریس تقریباً منفرد ممکن است این‌طور گزارش شود. A^k با k منفی از معکوس استفاده می‌کند و همین پیام را می‌دهد.

می‌گوید «ماتریس ضرایب منفرد است — دستگاه جواب منحصربه‌فردی ندارد.» یا «بدون جواب — دستگاه ناسازگار است.»

«حل Ax = b» ماتریس A و ستون سایه‌دار b را می‌خواند. منفرد یعنی سطرهای A به هم وابسته‌اند، پس یا جوابی نیست یا جواب‌ها زیادند؛ ابزار خانواده جواب‌ها را فهرست نمی‌کند. ناسازگار یعنی معادله‌ها با هم تناقض دارند. با A = [[1, 2], [2, 4]]، b = (1, 2) پیام اول و b = (1, 3) پیام دوم را می‌دهد. A غیرمربعی «این عملیات به یک ماتریس مربعی نیاز دارد.» را نشان می‌دهد.

می‌گوید «توان‌های ماتریس به توان صحیح k نیاز دارند.» یا «توان k باید بین -20 و 20 باشد.»

«A^k» و «k · A» کادر بعد از «k =» را به اشتراک می‌گذارند، با برچسب «اسکالر k (همچنین توان برای A^k)». برای A^k باید عدد صحیحی از -20 تا 20 باشد: 2.5 پیام اول و 21 پیام دوم را می‌گیرد. «k · A» هر عدد، کسر یا عبارتی را می‌پذیرد. اگر کادر k اصلاً خوانده نشود، «هر خانه و k باید عدد یا عبارتی ساده مانند 1/3، 1,5 یا sqrt(2) باشد.» را می‌بینید. A^0 ماتریس همانی است.

مقایسه آن

این یک ماشین‌حساب ماتریسی سریع برای جدول‌هایی تا 8 × 8 است و مراحل حل را برای مباحث رایج درسی نشان می‌دهد: دترمینان، معکوس، RREF و حل دستگاه. کسرهای دقیق آن را برای بررسی تکلیف یا محاسبه دستی مفید می‌کنند و دکمه‌های کپی برای Excel و LaTeX پاسخ‌ها را جای دیگری می‌برند. این یک سامانه جبر رایانه‌ای نیست. خانه‌ها فقط عدد نگه می‌دارند، پس متغیر نمادین یا درایه مختلط وجود ندارد. تجزیه LU، QR یا SVD و برازش کمترین مربعات ندارد و «حل Ax = b» با A مربعی و یک پاسخ کار می‌کند. مقادیر ویژه از یک روش عددی به صورت اعشار به دست می‌آیند. برای ماتریس‌های بزرگ‌تر، کار نمادین یا کارهای اسکریپتی از MATLAB، Octave، NumPy یا یک سامانه جبر رایانه‌ای استفاده کنید. هیچ‌چیزی که تایپ می‌کنید به جایی فرستاده نمی‌شود.