حل‌کننده معادلات رایگان

مثال عملی

برای حل x² - 2x - 2 = 0، عبارت x^2-2x-2=0 را در «یک معادله تایپ کنید» بنویسید و «حل» را بزنید. صفحه پاسخ دقیق x = 1 ± √3 را با x₁ ≈ -۰/۷۳۲۱ و x₂ ≈ ۲/۷۳۲۱ در زیر آن، یک خط «دلتا = ۱۲» با برچسب «دو ریشه حقیقی متمایز» و رأس (۱, -۳) را نشان می‌دهد. در «گام به گام» دلتای ۱۲ به‌صورت «√۱۲ = ۲√۳» ساده می‌شود که ریشه √۳ از آن می‌آید. «نمایش پاسخ‌ها به‌صورت» را به «اعشار» تغییر دهید و فقط x₁ = -۰/۷۳۲۱ و x₂ = ۲/۷۳۲۱ باقی می‌مانند.

کدام تنظیمات را استفاده کنید و محدودیت‌ها

• معادله را همان‌طور که می‌نویسید تایپ کنید. در «یک معادله تایپ کنید» بنویسید x^2-5x+6=0، 2x+3=7 یا 3x-2y=5; x+y=4. توان‌ها می‌توانند x^2 یا x² باشند، 2x یعنی ۲ ضربدر x، و کسرهای (1/2)، ممیز اعشاری (0,5x=3)، √2، sqrt(2)، pi و پرانتزهایی مانند (x+1)(x-2)=0 همگی کار می‌کنند. معادلات یک دستگاه را با نقطه‌ویرگول یا ویرگول جدا کنید. مجهول می‌تواند هر حرف تکی باشد و حروف بزرگ به‌عنوان حروف کوچک در نظر گرفته می‌شوند. یک کلمه کامل مانند price رد می‌شود، بنابراین به‌جای price*3=45 بنویسید x*3=45.
• بدانید چه چیزهایی را می‌تواند و نمی‌تواند حل کند. این ابزار معادلات خطی، درجه دو و درجه سه با یک مجهول و دستگاه‌های خطی ۲ یا ۳ معادله با ۲ یا ۳ مجهول را حل می‌کند. حداکثر می‌توانید ۳ معادله تایپ کنید. توان‌های بالاتر از ۳، نامعادلاتی مانند x>3، دستگاه‌های شامل x² یا x*y و توابعی مانند sin یا log با یک پیام رد می‌شوند. متنی بدون علامت =، مانند x^2-5x+6، معادل صفر در نظر گرفته می‌شود.
• بین پاسخ‌های دقیق و اعشار جابه‌جا شوید. وقتی یک فرم دقیق وجود داشته باشد و با اعشار متفاوت باشد، «نمایش پاسخ‌ها به‌صورت» گزینه‌های «دقیق» و «اعشار» را ارائه می‌دهد. «دقیق» کسرهایی مانند x = ۱۳/۵ و ریشه‌هایی مانند x = 1 ± √3 را با اعشار در زیرشان نشان می‌دهد؛ «اعشار» تا ۴ رقم اعشار گرد می‌کند. تایپ یک عدد اعشاری، مانند 0,5x+1,25=3، به‌طور خودکار به «اعشار» تغییر می‌کند. ریشه‌های دقیق نیازمند ضرایبی هستند که پس از حذف کسرها، اعداد صحیحی نه بزرگ‌تر از ۲,۰۰۰ شوند. در غیر این صورت فقط اعشار دریافت می‌کنید: x^2-3000x+2=0 پاسخ‌های x₁ = ۰/۰۰۰۷ و x₂ = ۲۹۹۹/۹۹۹۳ را می‌دهد.
• برای معادلات درجه دو از دلتا، رأس و نمودار استفاده کنید. در بخش ریشه‌ها، یک معادلهٔ درجه دوم «مبین» را به همراه ماهیت آن («دو ریشهٔ حقیقی متمایز»، «یک ریشهٔ حقیقی مضاعف» یا «دو ریشهٔ مزدوج مختلط») و «رأس» نشان می‌دهد. مبین منفی ریشه‌های مختلطی مانند x = -1 ± 2i می‌دهد. نمودار، ریشه‌های حقیقی و رأس را علامت‌گذاری می‌کند. «دریافت نمودار به‌صورت PNG» تصویری به نام equation-graph.png با ابعاد ۱٬۰۴۴ در ۶۹۰ پیکسل ذخیره می‌کند، «کپی نمودار به‌عنوان تصویر» فقط در مرورگرهایی ظاهر می‌شود که امکان کپی تصویر را دارند، و «باز کردن در ماشین حساب نموداری» همان چندجمله‌ای را در آنجا رسم می‌کند. معادلات خطی و درجه سوم نیز نمودار دارند، اما دستگاه‌ها نمودار ندارند.
• دستگاه‌ها و معادلات درجه سوم نحوهٔ حل خود را نشان می‌دهند. یک معادلهٔ درجه سوم که ریشهٔ عدد صحیح یا کسر ساده داشته باشد با آزمون ریشهٔ گویا حل می‌شود: x^3-6x^2+11x-6=0 ریشه‌های x₁ = 1، x₂ = 2 و x₃ = 3 را می‌دهد، و مراحل، معادلهٔ درجه دوم باقی‌مانده پس از تقسیم بر ریشهٔ اول را نشان می‌دهند. اگر چنین ریشه‌ای نداشته باشد، روش کاردانو جواب‌های اعشاری می‌دهد، مانند x^3-2=0 با x₁ = 1.2599 و یک جفت ریشهٔ مختلط. یک دستگاه با عملیات سطری روی ماتریس افزوده حل می‌شود و هر مرحله نشان داده می‌شود. معادلات متناقض «بدون جواب.» و معادلات وابسته «بی‌نهایت جواب.» می‌دهند.
• کپی، اشتراک‌گذاری یا بازگشت به یک معادله. «کپی» معادله، پاسخ‌ها و مراحل را به‌صورت متن در حافظهٔ کلیپ‌بورد قرار می‌دهد. «اشتراک‌گذاری نتیجه» پیوندی می‌سازد که همان پاسخ را دوباره باز می‌کند؛ معادله در بخشی از آدرس که پس از # می‌آید منتقل می‌شود و به سرور ارسال نمی‌شود. ۵ معادلهٔ آخری که حل کرده‌اید در همین مرورگر و در بخش «معادلات اخیر» نگهداری می‌شوند و «پاک کردن تاریخچه» آن‌ها را حذف می‌کند. ردیف نمادهای زیر کادر (x، y، ²، ^، √، پرانتزها، =، / و یک کلید حذف) برای صفحه‌کلید گوشی‌ها در نظر گرفته شده است.

مشکلات رایج و راه حل آن‌ها

می‌گوید «خواندن آن معادله ممکن نشد. چیزی شبیه x^2-5x+6=0، 2x+3=7 یا 3x-2y=5; x+y=4 را امتحان کنید.»

متن واردشده به یک چندجمله‌ای تبدیل نشد. دلایل رایج عبارت‌اند از: بسته نشدن پرانتز، خالی بودن یک طرف =، وجود دو علامت =، نبود هیچ مجهولی (مثل ۵=۵)، و قرار گرفتن مجهول درون یک تابع، مخرج یا توان: sin(x)=0، 1/x=2، sqrt(x)=2 و 2^x=8 همگی پذیرفته نمی‌شوند. ابتدا کسر را از بین ببرید (1/x=2 به 1=2x تبدیل می‌شود) و توان دوم را به‌صورت x^2 بنویسید. توجه کنید که x2 به‌معنای ۲ ضربدر x خوانده می‌شود، نه x به توان دو.

می‌گوید «اینجا فقط معادلات تا توان سوم (x³) پشتیبانی می‌شوند. برای توان‌های بالاتر، نمودار را رسم کنید و محل برخورد آن با صفر را بخوانید.»

معادله، پس از ضرب پرانتزها، توانی بالاتر از ۳ دارد، مانند x^4-5x^2+4=0 یا (x+1)^4=0. از پیوند «باز کردن ماشین حساب نموداری» در زیر پیام استفاده کنید تا ببینید نمودار کجا صفر را قطع می‌کند. اگر فقط توان‌های زوج ظاهر شوند، از تغییر متغیر u = x² استفاده کنید: u²-5u+4=0 به u = 1 یا ۴ می‌رسد، بنابراین x = ±1 یا ±۲.

می‌گوید «یک دستگاه به تعداد مجهول‌ها معادله نیاز دارد (۲ یا ۳)، و یک معادلهٔ تکی فقط می‌تواند یک مجهول داشته باشد.»

یا یک معادله دارای دو مجهول است (مثلاً x+y=5 به‌تنهایی)، یا تعداد معادلات با تعداد مجهول‌ها تفاوت دارد، یا بیش از ۳ معادله تایپ کرده‌اید. معادلهٔ گمشده را پس از یک نقطه‌ویرگول اضافه کنید، مانند x+y=5; x-y=1، یا مجهول اضافی را حذف کنید. اگر می‌بینید «دستگاه‌ها باید خطی باشند: فقط جمله‌هایی مانند 3x یا -2y، بدون x² یا xy.»، دستگاه دارای جملهٔ توان‌دار یا ضرب‌شده است که این ابزار آن را حل نمی‌کند.

در کادرهای ضرایب می‌گوید «خواندن “1e3” در a ممکن نیست. از عددی مانند ۲، 0.5-، ۰/۵، 1/2 یا √2 استفاده کنید.»

یکی از کادرهای زیر «یا ضرایب را وارد کنید» حاوی چیزی است که عدد نیست. پیام، نام کادر را مشخص می‌کند و وقتی کادر خالی باشد ∅ نشان می‌دهد. حروف و نمادگذاری علمی مانند 1e3 پذیرفته نمی‌شوند: ۱۰۰۰ یا 10^3 بنویسید. کسرها (1/2)، ممیز اعشاری فارسی (۰/۵)، رادیکال‌ها (√2)، توان‌ها (2^3)، عدد پی و پرانتزها مانند (1+2)/3 قابل قبول هستند. کادری که مشکل داشته باشد حاشیه‌ای به رنگ گلی می‌گیرد.

در زبانهٔ معادلهٔ درجه دوم می‌گوید «برای یک معادلهٔ درجه دوم، ضریب a نباید ۰ باشد.»

با a = 0 معادله دیگر درجه دوم نیست. همان اعداد را در زبانهٔ «خطی» قرار دهید (b و c به a و b تبدیل می‌شوند)، یا معادله را در «تایپ یک معادله» بنویسید، جایی که ابزار نوع معادله را بر اساس بالاترین توانی که پیدا می‌کند تشخیص می‌دهد.

مقایسه آن

حل دستی یک معادلهٔ درجه دوم با فرمول، همان ریشه‌ها را می‌دهد و صفحه نیز همان مراحل را دنبال می‌کند، بنابراین برای بررسی تکالیف یا دیدن منشأ یک √ مفید است. یک ماشین حساب نموداری یا یک سیستم جبر رایانه‌ای فراتر می‌رود: توان‌های بالاتر، معادلات مثلثاتی و نمایی، نامعادلات، دستگاه‌های غیرخطی و پاسخ‌های نمادین را پشتیبانی می‌کند که هیچ‌کدام در این صفحه انجام نمی‌شود. پاسخ‌های دقیق آن به معادلات درجه دوم با ضرایب صحیح یا کسر ساده و معادلات درجه سوم با یک ریشهٔ گویای ساده محدود می‌شود؛ همهٔ موارد دیگر به‌صورت اعداد اعشاری با ۴ رقم گردشده نمایش داده می‌شوند. وقتی معادله‌ای پذیرفته نشود، پیام به ماشین حساب نموداری (برای توان‌های بالاتر) یا ماشین حساب ماتریسی (برای دستگاه‌ها) پیوند می‌دهد.