無料行列計算機

実例

行列 A をクリックして、上の行に 2 と 1、下の行に 1 と 3 を入力します。「det(A)」を押すと結果は「det(A) = 5」と表示され、「途中式（1）」を開くと「ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5」と表示されます。「逆行列 A」を押すと、結果のグリッドに 3/5、-1/5、-1/5、2/5 が表示され、「[A | I]」から始まる5つの手順が出ます。「答えの表示形式」で「小数」を選ぶと、同じグリッドが 0.6、-0.2、-0.2、0.4 になります。網掛けの b 列にはすでに 1 と 2 が入っているので、「Ax = b を求解」を押すと、1/5 と 3/5 の列が返ります。「特性多項式」は「p(λ) = λ² − 5λ + 5」を、「固有値と固有ベクトル」は 1.381966 と 3.618034 を返します。どのセルを編集しても古い答えは消えるので、もう一度演算ボタンを押してください。

使用する設定と制限事項

• 各セルは、ふだん書くとおりに入力します。 セルには、整数、小数（1.5 または 1,5）、分数（1/3、-2/5）、sqrt(2)、pi、e、abs(-3)、2^3、(1+2)/3、2pi のような簡単な式を入力できます。記号 × ÷ − と ** も使えます。カンマ1つだけの場合は小数点のカンマとして扱われるため「1,5」は 1.5 ですが、セルにカンマとピリオドの両方がある場合はカンマが除かれ、「1,000.5」は 1000.5 になります。小数は正確に読み取られ、0.5 は 1/2 として保持されます。空のセル、0 による除算、負の数の平方根は受け付けられず、そのセルは赤い枠で表示されます。
• サイズを設定し、連立方程式には b 列を使います。 行列 A と行列 B はそれぞれ 1〜8 行、1〜8 列で、「行」と「列」の横の − と + ボタンで設定します。新しいセルは 0 から始まり、残るセルは変更されません。「ランダム」は -9 から 9 の整数で埋め、「単位行列」は対角に 1 を入れ、「ゼロ」はグリッドをクリアします。行列 A の隣にある網掛けの b 列は、「Ax = b を求解」の右辺で、常に A の各行に1つの値があります。矢印キーと Enter でセル間を移動でき、Enter は下に移動します。
• 行列の形に合う演算を選びます。 「A + B」と「A − B」には、同じサイズの2つのグリッドが必要です。「A × B」には、A の列数が B の行数と等しい必要があり、2 × 3 の A には 3 × 2 の B を掛けます。「det(A)」「逆行列 A」「トレース（A）」「特性多項式」「固有値と固有ベクトル」「A^k」「Ax = b を求解」は、いずれも A が正方行列である必要があります。「転置 A」「RREF A」「rank(A)」「k · A」はどのサイズでも使えます。ボタンは「行列Aの演算」「AとBの演算」「連立一次方程式を解く」「数kとの演算」の下に並んでいます。
• 答えが厳密な場合と丸められる場合を把握しておきましょう。 使われるセルがすべて整数、小数、分数であれば、答えは厳密です。上の 2 × 2 の逆行列は 0.6 ではなく 3/5 です。その場合、det、逆行列、RREF、求解は、行の操作を「途中式」の下に一覧します。sqrt(2)、pi、e を含むセルがあると、その計算は小数点以下6桁の小数に切り替わり、ページに「途中式の表示には、正確な値(整数、小数、分数)が必要です。sqrt、pi、e を含むセルは小数で計算されます。」と表示されます。「分数」と「小数」のボタンは表示だけを変え、分子または分母が10億以上の分数は、どちらの表示でも小数で表示されます。
• 正方行列には固有値のボタンを使います。 「固有値と固有ベクトル」は、別の数学エンジンを使う唯一の演算です。ボタンを初めて押したときに読み込まれ、その間ボタンには「読み込み中…」と表示されます。小数で計算され、途中式はありません。複素数の組は「±i」や「1 ± 2i」のように表示されます。固有ベクトルは 0 でない最初の成分が 1 になるようにスケーリングされるため、別の方法でスケーリングする教科書とは異なることがあります。A = [[2, 1], [1, 3]] では、値 1.381966 が (1, -0.618034) と、3.618034 が (1, 1.618034) と対になります。
• スプレッドシートから貼り付け、答えをコピーして持ち出します。 Excel や Google Sheets のセルのかたまりをどちらのグリッドにも貼り付けると、最大 8 × 8 までに合わせてサイズが変わります。余分な行と列は切り捨てられ、短い行で足りないセルは 0 になります。行は改行で、セルはタブ、セミコロン、スペースで区切られます。b のセルに貼り付けると、貼り付けた内容の最初の列が取られます。行列の結果の下で、「Excel用にコピー」はタブ区切りのセルをコピーし、「LaTeXをコピー」は分数を \frac にした bmatrix をコピーし、「Aとして使う」または「Bとして使う」は、答えを厳密な分数を保ったままグリッドに移します。

よくある問題とその解決方法

「セルA12は、読み取れる数値または式ではありません。3、1/3、1,5、sqrt(2)、pi などを試してください。」と表示される（セル名はお使いのものになります）。

名前は行、次に列の順なので、A12 は行列 A の1行目2列目です。b のセルは b2 のように行で名付けられます。原因としては、空のセル、pi、e、sqrt、abs 以外の文字、1/0 のような 0 による除算、負の数の平方根、スペースだけで区切った2つの数、閉じていないかっこなどがあります。チェックされるのはボタンが使うグリッドだけなので、行列 B の不正なセルが「det(A)」を止めることはありません。

「次元の不一致―A の列数が B の行数と等しい必要があります。」または「次元の不一致―両方の行列は同じサイズである必要があります。」と表示される

1つ目のメッセージは「A × B」に、2つ目は「A + B」と「A − B」に対するものです。2つのグリッドの「行」と「列」を比べてください。2 × 3 の行列 A を掛けるには、3 行の行列 B が必要で、和には両方のグリッドの行数と列数が同じである必要があります。− と + ボタンでサイズを変更してください。残るセルはそのままで、新しいセルは 0 から始まります。

「行列式が 0 です―この行列は逆行列を持ちません。」と表示される

[[1, 2], [2, 4]] のように、行どうしが依存し合う正方行列は、行列式が 0 で、逆行列がありません。「det(A)」は 0 を返し、「rank(A)」は 1 を返し、これは行数の 2 より小さい値です。sqrt、pi、e を含むセルの場合、1e-10 より小さいピボットは 0 として扱われるため、ほぼ特異な行列がこのように報告されることがあります。k が負の A^k は逆行列を使うので、同じメッセージが表示されます。

「係数行列が特異です―システムは一意の解を持ちません。」または「解なし―システムは矛盾しています。」と表示される

「Ax = b を求解」は、行列 A と網掛けの b 列を読み取ります。特異とは、A の行どうしが依存し合っていることを意味し、解がないか、無数にあります。ツールは解の族を一覧しません。矛盾とは、方程式どうしが食い違っていることです。A = [[1, 2], [2, 4]] の場合、b = (1, 2) では1つ目のメッセージ、b = (1, 3) では2つ目のメッセージになります。A が正方行列でない場合は、「この操作には正方行列が必要です。」と表示されます。

「行列べき乗には整数指数 k が必要です。」または「指数 k は -20～20 の間である必要があります。」と表示される

「A^k」と「k · A」は、「k =」の後ろの、「スカラー k（A^k の指数でもあります）」というラベルの欄を共有します。A^k では -20 から 20 までの整数である必要があり、2.5 は1つ目のメッセージ、21 は2つ目のメッセージになります。「k · A」では、どんな数、分数、式でも使えます。k の欄がまったく読み取れない場合は、「すべてのセルとkは、数値または 1/3、1,5、sqrt(2) のような簡単な式にしてください。」と表示されます。A^0 は単位行列です。

比較

これは 8 × 8 までのグリッドに対応した手早い行列計算機で、行列式、逆行列、RREF、連立方程式の求解といった一般的な講義の題材について、途中式を表示します。厳密な分数は、宿題や手計算の確認に便利で、Excel と LaTeX のコピーボタンで答えをほかの場所に移せます。数式処理システムではありません。セルには数値しか入らないため、記号変数や複素数の成分はありません。LU、QR、SVD 分解や最小二乗法による近似はなく、「Ax = b を求解」が扱うのは、解が1つに決まる正方行列 A です。固有値は、小数による数値計算の方法で求められます。より大きな行列、記号による計算、スクリプトでの処理には、MATLAB、Octave、NumPy、または数式処理システムをお使いください。入力した内容はどこにも送信されません。