免费矩阵计算器

操作示例

点击进入矩阵 A，在第一行输入 2 和 1，在第二行输入 1 和 3。点击“det(A)”，结果显示“det(A) = 5”；展开“分步过程 (1)”会看到“ad − bc = 2·3 − 1·1 = 5”。点击“求逆 A”，结果网格显示 3/5、-1/5、-1/5 和 2/5，共五个步骤，从“[A | I]”开始。在“答案显示为”下选择“小数”，同一网格显示 0.6、-0.2、-0.2 和 0.4。带阴影的 b 列已经是 1 和 2，所以“求解 Ax = b”返回由 1/5 和 3/5 组成的一列。“特征多项式”给出“p(λ) = λ² − 5λ + 5”，“特征值与特征向量”给出 1.381966 和 3.618034。编辑任何单元格都会清除旧的答案，所以请再次点击该运算。

使用哪些设置，以及限制

• 按你平时书写的方式输入每个单元格。 单元格可输入整数、小数（1.5 或 1,5）、分数（1/3、-2/5），以及 sqrt(2)、pi、e、abs(-3)、2^3、(1+2)/3 和 2pi 之类的简单表达式。符号 ×、÷、− 和 ** 也可使用。单独的逗号是小数逗号，所以“1,5”就是 1.5，但如果一个单元格里同时有逗号和小数点，逗号会被丢弃，“1,000.5”就是 1000.5。小数按精确值读取，所以 0.5 被保存为 1/2。空单元格、除以零和负数的平方根都会被拒绝，该单元格会出现红色轮廓。
• 设置大小，并用 b 列表示方程组。 矩阵 A 和矩阵 B 的行数、列数都是 1 到 8，用“行数”和“列数”旁边的 − 和 + 按钮设置。新增的单元格起始为 0，保留的单元格不变。“随机”用 -9 到 9 的整数填充，“单位矩阵”在对角线上填 1，“零矩阵”清空网格。矩阵 A 旁边带阴影的 b 列是“求解 Ax = b”的右端项，并且 A 的每一行始终对应一个条目。方向键和 Enter 可在单元格之间移动，Enter 向下移动。
• 让运算与矩阵的形状相符。 “A + B”和“A − B”需要两个大小相同的网格。“A × B”要求 A 的列数等于 B 的行数，所以 2 × 3 的 A 可以乘 3 × 2 的 B。“det(A)”、“求逆 A”、“迹 (A)”、“特征多项式”、“特征值与特征向量”、“A^k”和“求解 Ax = b”都要求 A 是方阵。“转置 A”、“RREF A”、“rank(A)”和“k · A”适用于任何大小。这些按钮位于“对矩阵 A”、“A 与 B 一起”、“求解线性方程组”和“与数 k 运算”之下。
• 了解答案何时精确、何时经过四舍五入。 如果用到的每个单元格都是整数、小数或分数，答案就是精确的：上面 2 × 2 的逆矩阵是 3/5，而不是 0.6。此时行列式、逆矩阵、RREF 和求解会在“分步过程”下列出它们的行变换。含有 sqrt(2)、pi 或 e 的单元格会让该计算改用小数，显示 6 位小数，页面会提示“分步过程需要精确的输入（整数、小数或分数）。含 sqrt、pi 或 e 的单元格会按小数计算。”“分数”和“小数”按钮只改变显示方式，分子或分母达到十亿或更大的分数在两种模式下都以小数显示。
• 对方阵使用特征值按钮。 “特征值与特征向量”是唯一使用单独数学引擎的运算。它在你第一次点击按钮时加载，其间按钮显示“加载中…”，并按小数计算，没有步骤。复数对显示为“±i”或“1 ± 2i”。特征向量经过缩放，使第一个非零分量为 1，这可能与采用其他缩放方式的教科书不同。对于 A = [[2, 1], [1, 3]]，特征值 1.381966 对应 (1, -0.618034)，3.618034 对应 (1, 1.618034)。
• 从电子表格粘贴，并把答案复制出去。 把 Excel 或 Google Sheets 中的一块单元格粘贴到任一网格中，网格会自动调整大小，最大 8 × 8；多出的行和列会被截掉，短行中缺少的单元格变为 0。行以换行分隔，单元格以制表符、分号或空格分隔。粘贴到 b 单元格时，只取所粘贴内容的第一列。在矩阵结果下方，“复制到 Excel”复制以制表符分隔的单元格，“复制 LaTeX”复制 bmatrix，其中分数写作 \frac，“用作 A”或“用作 B”则把答案移入网格，并保留精确的分数。

常见问题及解决方法

提示“单元格 A12 不是我们能识别的数字或表达式。试试 3、1/3、1,5、sqrt(2) 或 pi。”（单元格名称为你自己的）

名称是先行后列，所以 A12 是矩阵 A 的第 1 行第 2 列。b 单元格以其行号命名，例如 b2。原因包括：单元格为空、含有 pi、e、sqrt 和 abs 之外的字母、除以零（如 1/0）、负数的平方根、两个数字之间只用空格隔开，或括号未闭合。只会检查按钮用到的网格，所以矩阵 B 中的错误单元格不会妨碍“det(A)”。

提示“维度不匹配 — A 的列数必须等于 B 的行数。”或“维度不匹配 — 两个矩阵必须大小相同。”

第一条提示属于“A × B”，第二条属于“A + B”和“A − B”。请比较两个网格的行数和列数。2 × 3 的矩阵 A 需要有 3 行的矩阵 B 才能相乘，而相加则要求两个网格的行数和列数都相同。用 − 和 + 按钮调整大小；保留的单元格保持原样，新增的单元格起始为 0。

提示“行列式为 0 — 此矩阵无逆矩阵。”

行之间相互依赖的方阵，例如 [[1, 2], [2, 4]]，行列式为 0，没有逆矩阵。“det(A)”给出 0，“rank(A)”给出 1，小于行数 2。对于含 sqrt、pi 或 e 的单元格，小于 1e-10 的主元视为零，所以接近奇异的矩阵也可能这样提示。k 为负数的 A^k 要用到逆矩阵，会给出同样的提示。

提示“系数矩阵为奇异矩阵 — 方程组无唯一解。”或“无解 — 方程组不相容。”

“求解 Ax = b”读取矩阵 A 和带阴影的 b 列。奇异表示 A 的行相互依赖，所以要么无解，要么有很多解；工具不会列出解族。不相容表示各方程相互矛盾。对于 A = [[1, 2], [2, 4]]，b = (1, 2) 给出第一条提示，b = (1, 3) 给出第二条。非方阵的 A 会显示“此操作需要方阵。”

提示“矩阵幂需要整数指数 k。”或“指数 k 必须在 -20 到 20 之间。”

“A^k”和“k · A”共用“k =”后面的输入框，其标签为“标量 k (也是 A^k 的指数)”。对于 A^k，它必须是 -20 到 20 之间的整数：2.5 得到第一条提示，21 得到第二条。“k · A”接受任何数字、分数或表达式。如果 k 框完全无法读取，你会看到“每个单元格以及 k 都必须是数字或简单表达式，例如 1/3、1,5 或 sqrt(2)。”A^0 是单位矩阵。

对比分析

这是一个快速的矩阵计算器，适用于最大 8 × 8 的网格，并为常见的课程内容给出计算过程：行列式、逆矩阵、RREF 和解方程组。精确分数使它很适合检查作业或手算结果，而复制到 Excel 和 LaTeX 的按钮可以把答案带到别处。它不是计算机代数系统。单元格里只能放数字，所以没有符号变量或复数项。它没有 LU、QR 或 SVD 分解，也没有最小二乘拟合，“求解 Ax = b”处理的是有唯一解的方阵 A。特征值由数值方法以小数给出。对于更大的矩阵、符号运算或脚本化任务，请使用 MATLAB、Octave、NumPy 或计算机代数系统。你输入的任何内容都不会被发送到任何地方。