免费方程求解器

操作示例

要求解 x² - 2x - 2 = 0，请在“输入方程”中输入 x^2-2x-2=0 并按“求解”。页面会显示精确答案 x = 1 ± √3，其下方有 x₁ ≈ -0.7321 和 x₂ ≈ 2.7321，一行“判别式 = 12”标记为“两个不等实根”，以及顶点 (1, -3)。在“逐步求解”中，判别式 12 被简化为“√12 = 2√3”，这就是 √3 的来源。将“答案显示为”切换为“小数”时，仅保留 x₁ = -0.7321 和 x₂ = 2.7321。

使用哪些设置，以及限制

• 像书写一样输入方程。 在“输入方程”中，可输入 x^2-5x+6=0、2x+3=7 或 3x-2y=5; x+y=4。幂次可用 x^2 或 x²，2x 表示 2 乘以 x，分数 (1/2)、小数逗号 (0,5x=3)、√2、sqrt(2)、pi 以及括号如 (x+1)(x-2)=0 均可使用。用分号或逗号分隔方程组中的方程。未知数可以是任何单个字母，大写字母视为小写字母。像 price 这样的完整单词会被拒绝，因此请写成 x*3=45 而不是 price*3=45。
• 了解它能解和不能解什么。 它能求解一元一次、二次和三次方程，以及含有 2 个或 3 个未知数的 2 个或 3 个方程的线性方程组。您最多可以输入 3 个方程。高于 3 次的幂、不等式如 x>3、包含 x² 或 x*y 的方程组，以及 sin 或 log 等函数会被拒绝并显示消息。没有 = 号的文本，如 x^2-5x+6，会被视为等于 0。
• 在精确答案和小数之间切换。 当存在精确形式且与小数值不同时，“答案显示为”会提供“精确”和“小数”选项。“精确”会给出分数如 x = 13/5 和根式如 x = 1 ± √3，下方附有小数；“小数”会四舍五入到小数点后 4 位。输入小数，如 0,5x+1,25=3，会自动切换到“小数”。精确根式要求系数在清除分数后成为不大于 2,000 的整数。否则您只能得到小数：x^2-3000x+2=0 会给出 x₁ = 0.0007 和 x₂ = 2999.9993。
• 对于二次方程，使用判别式、顶点和图表。 在根的下方，二次方程会显示“判别式”及其性质（“两个不等实根”、“一个重根”或“一对共轭复根”）以及“顶点”。负的判别式会给出复数根，例如 x = -1 ± 2i。图表会标出实根和顶点。“将图表下载为 PNG”会保存一个 1,044 x 690 像素的 equation-graph.png 文件，“将图表复制为图像”仅在允许复制图像的浏览器中显示，而“在图形计算器中打开”会在那里绘制相同的多项式。一次和三次方程也会有图表，但方程组没有。
• 三次方程和方程组会显示求解步骤。 对于具有整数或简单分数根的三次方程，会通过有理根检验来求解：x^3-6x^2+11x-6=0 得出 x₁ = 1, x₂ = 2 和 x₃ = 3，步骤会显示分解出第一个根后剩下的二次式。如果没有这样的根，则会使用卡尔达诺方法给出小数，例如 x^3-2=0 得出 x₁ = 1.2599 和一对复数根。方程组通过对增广矩阵进行行变换来求解，并显示每一步。矛盾的方程会显示“无解。”，而相依的方程会显示“无穷多解。”。
• 复制、分享或重新打开一个方程。 “复制”会将方程、答案和步骤以文本形式放入剪贴板。“分享结果”会创建一个链接，重新打开后显示相同的答案；方程通过地址中 # 之后的部分传递，这部分内容不会发送到服务器。您最近求解的 5 个方程会保存在此浏览器的“最近方程”下，点击“清除历史记录”会将其移除。输入框下方的符号行（x, y, ², ^, √, 括号, =, / 和一个删除键）是为手机键盘设计的。

常见问题及解决方法

提示“无法读取该方程。请尝试类似 x^2-5x+6=0, 2x+3=7 或 3x-2y=5; x+y=4 的格式。”

文本无法转换为多项式。常见原因包括括号未闭合、等号一侧为空、有两个等号、完全没有未知数（如 5=5），以及未知数出现在函数、分母或指数中：sin(x)=0, 1/x=2, sqrt(x)=2 和 2^x=8 都会被拒绝。请先清除分数（1/x=2 变为 1=2x），并将平方写作 x^2。请注意，x2 会被解读为 2 乘以 x，而不是 x 的平方。

提示“此处仅支持最高三次方 (x³) 的方程。对于更高次方，请绘制曲线并读取其与零点的交点。”

方程在展开括号后，最高次方超过了 3，例如 x^4-5x^2+4=0 或 (x+1)^4=0。请使用该消息下方的“在图形计算器中打开”链接来查看曲线与零点的交点。如果只出现偶次方，可进行 u = x² 的代换：u²-5u+4=0 得出 u = 1 或 4，因此 x = ±1 或 ±2。

提示“方程组需要方程数量与未知数数量相同（2 或 3 个），且单个方程只能有一个未知数。”

要么是一个方程含有两个未知数（如单独的 x+y=5），要么是方程数量与未知数数量不符，或者您输入了超过 3 个方程。请在分号后添加缺失的方程，例如 x+y=5; x-y=1，或移除多余的未知数。如果您看到“方程组必须是线性的：只能包含如 3x 或 -2y 的项，不能有 x² 或 xy。”，说明方程组中含有平方项或乘积项，此工具无法求解。

在系数框中提示“无法读取 a 中的“1e3”。请使用如 2, -0.5, 0,5, 1/2 或 √2 的数字。”

“或输入系数”下的某个框中包含了非数字内容。该消息会指明是哪个框，并在框为空时显示 ∅。不接受字母和科学记数法，如 1e3：请写成 1000 或 10^3。分数 (1/2)、小数逗号 (0,5)、根号 (√2)、幂 (2^3)、圆周率 pi 以及括号如 (1+2)/3 都是可以的。有问题的框会显示玫红色边框。

在“二次”选项卡上提示“对于二次方程，系数 a 不能为 0。”

当 a = 0 时，该方程不再是二次方程。请将相同的数字放入“一次”选项卡（b 和 c 变为 a 和 b），或在“输入方程”中键入方程，工具会根据找到的最高次方自动选择类型。

对比分析

使用公式手动求解二次方程会得到相同的根，并且该页面遵循相同的步骤，因此它对于检查作业或理解根号的来源很有用。图形计算器或计算机代数系统功能更强大：它们能处理更高次方、三角和指数方程、不等式、非线性方程组以及符号答案，而此页面无法做到这些。此页面的精确答案仅限于具有整数或简单分数系数的二次方程，以及具有简单有理根的三次方程；其他所有情况均显示为四舍五入到 4 位小数。当方程被拒绝时，消息会提供指向图形计算器（用于更高次方）或矩阵计算器（用于方程组）的链接。